算法書上的簡單數(shù)學(xué)題

BBDD

雖說簡單但我就是想不出來——學(xué)校里的那點東西早就還給老師了。

求證： log X < X 對所有X >; 0 成立。（這里的log以2為底）。

就是這么簡單。

各位幫幫忙，給個漂亮的證明吧！

FH

問題等價于證明X<2^X。
1.用歸納法證明X是正整數(shù)時正確。
2.推論到正有理數(shù)正確。
3.由兩者都單調(diào)連續(xù)，推導(dǎo)出對正無理數(shù)也正確。
所以，對一切X>;0正確。

BBDD

謝謝。

不過這個證明我也想到了。總覺得太丑陋，沒有簡單漂亮點的證明嗎？

FH

1.當(dāng)x<1，lnx<0，這時lnx<x
2.當(dāng)x=1，lnx=0，這時lnx<x
3.當(dāng)x>;1，0<(lnx)'=1/x<1＝(x)'，說明兩者都是單調(diào)遞增但前者較慢，且由(2)，得到證明。

BBDD

嗯，有點小問題：是logX（以 2 為底），而不是ln X。
另外，能不用高等數(shù)學(xué)嗎？

也許是我太挑剔了，不過我總覺得應(yīng)該有一個簡單的證明方法的。

FH

呵呵，是俺寫錯符號了，不過原理和結(jié)論是一樣的。
再簡單的俺無能為力了，等高人出現(xiàn)吧。

BBDD

原帖由 "FH" 發(fā)表：
呵呵，是俺寫錯符號了，不過原理和結(jié)論是一樣的。
再簡單的俺無能為力了，等高人出現(xiàn)吧。

(log X)' = (log e)/x = 1/(x ln2)  ≈ 1.44/x
當(dāng)x >; 1 時存在 (logX)' >; (X)' = 1

飛灰橙

sry, 理解錯誤

FH

唉！被人鉆了牛角尖了。原理在，稍微調(diào)整一下分割點就是了嘛！

1.當(dāng)x<＝1，logx<＝0，這時logx<＝0<x
2.當(dāng)1<x<2，logx<1<x
3.當(dāng)x=2，logx=1<2＝x
4.當(dāng)2<x，(logx)'=(loge)/x<1=(x)'，說明兩者都是單調(diào)遞增但前者較慢，且由(3)，得到證明。

jehudi

>;
>;1.用歸納法證明X是正整數(shù)時正確。
>;2.推論到正有理數(shù)正確。
>;3.由兩者都單調(diào)連續(xù)，推導(dǎo)出對正無理數(shù)也正確。

Strictly speaking (2 ->; 3)  is wrong.
Even if this can be repaired, we need measure theory in extending Q to R.

Correct solution:
Expand e^x using taylor formula, compare the first [x] or [x]+1 summands.