關(guān)于邏輯上的“對偶”（dual）

Quasimodo_lory

看邏輯等價的時候接觸到“對偶”的概念就是一個復(fù)合命題中的AND用OR代替，OR用AND代替，每個T用F代替，每個F用T代替。
這樣得到的命題叫做原命題的對偶。即 "The dual of a compound proposition"
請問有沒有人對這個概念有更深的了解？幫我介紹一下。
或者告訴我相關(guān)的文獻(xiàn)也好，我似乎找不到比較詳細(xì)的資料。

smalloc

這確實(shí)是個很有意思的問題,但是深入下去應(yīng)該是研究布爾代數(shù)的代數(shù)結(jié)構(gòu).
可能需要看代數(shù)學(xué)方面的書.

Quasimodo_lory

我查了一些資料，似乎對偶是個很廣泛的概念。
在數(shù)學(xué)的很多方面都有出現(xiàn)，有人說對偶是數(shù)學(xué)美的表現(xiàn)。
我其實(shí)比較想知道在數(shù)理邏輯上的意義，還有它在計(jì)算機(jī)中有什么應(yīng)用呢？
有哪位高人了解呢？

cjaizss

f1(a1,a2,...an,\/,/\)=f2(f(b1,b2,...bm,\/,/\)
<=>
f1(~a1,~a2,...~an,/\,\/)=f2(f(~b1,~b2,...~bn,/\,\/)
非就用~表示了,本來的符號表示出來是亂碼

cjaizss

f1(a1,a2,...an,\/,/\)=f2(f(b1,b2,...bm,\/,/\)

f1(~a1,~a2,...~an,/\,\/)=f2(f(~b1,~b2,...~bn,/\,\/) ...
cjaizss 發(fā)表于 2010-03-08 23:03

    我就不證明了,任何一本數(shù)理邏輯教材里均有其證明.

Quasimodo_lory

版主大人說的是德摩根律吧
那個=是什么意思？

smalloc

版主對對偶式的表達(dá)好象不正確 ...

對偶式表達(dá)的是布而代數(shù)的運(yùn)算關(guān)系形式上的對稱性.
可以用關(guān)系的圖形表示法來表達(dá).
(0.1)所有2元與的運(yùn)算恰好和(1,0)所有或的運(yùn)算在關(guān)系上對稱.

cjaizss

=就是等于
布爾格這個代數(shù)結(jié)構(gòu)的確是比較怪異,2^n階的布爾格本身除了有n!種自同構(gòu)外,把+與.兩種運(yùn)算(或者記作\/ /\)互換之后,又是一個同構(gòu)(注意,這在代數(shù)系統(tǒng)中不叫自同構(gòu)).當(dāng)然,布爾格的這種性質(zhì)也起源于格,格本身對于兩種符號的對稱性定義導(dǎo)致了這一點(diǎn),一個格兩種符號互換之后是另外一個格.

cjaizss

再寫兩個比較強(qiáng)的定理:
Morgan:
~f(a1,a2,...an,\/,/\)=f(~a1,~a2,...,~an,\/,/\)
以上定理可以直接推導(dǎo)出我之前的定理.
展開
Shannon
f(a1,a2,...an)=(a1/\f(1,a2,...an)\/((~a1)/\f(0,a2,...an))
                    =(a1\/f(0,a2,...an))/\((~a1)\/f(1,a2,...an))

以上定理證明實(shí)際都不難

Quasimodo_lory

我對于樓主的表達(dá)方式不是很理解
如果f1(a1,a2,...an,\/,/\)是表示一個復(fù)合命題，那么
f1(a1,a2,...an,\/,/\)=f2(f(b1,b2,...bm,\/,/\)
f1(~a1,~a2,...~an,/\,\/)=f2(f(~b1,~b2,...~bn,/\,\/) ...
表達(dá)的是兩個等價的命題f1(a1,a2,...an,\/,/\)=f2(f(b1,b2,...bm,\/,/\)
其對偶也是等價的1(~a1,~a2,...~an,/\,\/)=f2(f(~b1,~b2,...~bn,/\,\/)
是這樣的意思嗎？
但是對偶是把/\和\/對調(diào)，無需對各個子命題an加上～吧。
請問樓主那兩個定理你是從哪里看到的呀？謝謝啦