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[SCO UNIX] RSA與大數(shù)運(yùn)算 [復(fù)制鏈接]

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豐衣足食

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電梯直達(dá)

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發(fā)表于 2003-06-23 17:29 |只看該作者 |倒序?yàn)g覽

基于以下原因，俺估計(jì)RSA算法會被越來越多的共享軟件采用：
1、原理簡潔易懂
2、加密強(qiáng)度高
3、專利限制已過期
4、看雪老大三番五次呼吁共享軟件采用成熟的非對稱加密技術(shù)
所以，大家應(yīng)該對RSA算法進(jìn)行深入了解。
RSA依賴大數(shù)運(yùn)算，目前主流RSA算法都建立在512位到1024位的
大數(shù)運(yùn)算之上，所以我們在現(xiàn)階段首先需要掌握1024位的大數(shù)
運(yùn)算原理。
大多數(shù)的編譯器只能支持到64位的整數(shù)運(yùn)算，即我們在運(yùn)算中
所使用的整數(shù)必須小于等于64位，即：0xffffffffffffffff
也就是18446744073709551615，這遠(yuǎn)遠(yuǎn)達(dá)不到RSA的需要，于是
需要專門建立大數(shù)運(yùn)算庫來解決這一問題。
最簡單的辦法是將大數(shù)當(dāng)作字符串進(jìn)行處理，也就是將大數(shù)用
10進(jìn)制字符數(shù)組進(jìn)行表示，然后模擬人們手工進(jìn)行“豎式計(jì)算”
的過程編寫其加減乘除函數(shù)。但是這樣做效率很低，因?yàn)?024
位的大數(shù)其10進(jìn)制數(shù)字個數(shù)就有數(shù)百個，對于任何一種運(yùn)算，
都需要在兩個有數(shù)百個元素的數(shù)組空間上做多重循環(huán)，還需要
許多額外的空間存放計(jì)算的進(jìn)位退位標(biāo)志及中間結(jié)果。當(dāng)然其
優(yōu)點(diǎn)是算法符合人們的日常習(xí)慣，易于理解。
另一種思路是將大數(shù)當(dāng)作一個二進(jìn)制流進(jìn)行處理，使用各種移
位和邏輯操作來進(jìn)行加減乘除運(yùn)算，但是這樣做代碼設(shè)計(jì)非常
復(fù)雜，可讀性很低，難以理解也難以調(diào)試。
于是俺琢磨了一種介于兩者之間的思路：
將大數(shù)看作一個n進(jìn)制數(shù)組，對于目前的32位系統(tǒng)而言n可以取
值為2的32次方，即0x10000000，假如將一個1024位的大數(shù)轉(zhuǎn)
化成0x10000000進(jìn)制，它就變成了32位，而每一位的取值范圍
就不是0-1或0-9，而是0-0xffffffff。我們正好可以用一個無
符號長整數(shù)來表示這一數(shù)值。所以1024位的大數(shù)就是一個有32
個元素的unsigned long數(shù)組。而且0x100000000進(jìn)制的數(shù)組排列
與2進(jìn)制流對于計(jì)算機(jī)來說，實(shí)際上是一回事，但是我們完全
可以針對unsigned long數(shù)組進(jìn)行“豎式計(jì)算”，而循環(huán)規(guī)模
被降低到了32次之內(nèi)，并且算法很容易理解。
例如大數(shù)18446744073709551615，等于“ffffffff ffffffff”，
它就相當(dāng)于10進(jìn)制的“99”：有兩位，每位都是ffffffff。
而大數(shù)18446744073709551616，等于“00000001 00000000
00000000”，它就相當(dāng)于10進(jìn)制的“100”：有三位，第一位是
1，其它兩位是0。如果我們要計(jì)算18446744073709551616
-18446744073709551615，就類似于100-99：
00000001 00000000 00000000
- ffffffff ffffffff
-----------------------------
= 0 0 1
所以，可以聲明大數(shù)類如下：
/****************************************************************/
//大數(shù)運(yùn)算庫頭文件：BigInt.h
//作者：afanty@vip.sina.com
//版本：1.0 (2003.4.26)
//說明：適用于MFC
/****************************************************************/
#define BI_MAXLEN 40
#define DEC 10
#define HEX 16
class CBigInt
{
public:
int m_nSign; //記錄大數(shù)的符號，支持負(fù)值運(yùn)算
int m_nLength; //記錄0x10000000進(jìn)制的位數(shù)，0-40之間，相當(dāng)于2進(jìn)制的0-1280位
unsigned long m_ulvalue[BI_MAXLEN]; //記錄每一位的“數(shù)字”
CBigInt();
~CBigInt();
//將大數(shù)賦值為另一個大數(shù)
CBigInt& Mov(CBigInt& A);
//將大數(shù)賦值為編譯器能夠理解的任何整形常數(shù)或變量
CBigInt& Mov(unsigned __int64 A);
//比較兩個大數(shù)大小
int Cmp(CBigInt& A);
//計(jì)算兩個大數(shù)的和
CBigInt Add(CBigInt& A);
//重載函數(shù)以支持大數(shù)與普通整數(shù)相加
CBigInt Add(long A);
//計(jì)算兩個大數(shù)的差
CBigInt Sub(CBigInt& A);
//重載函數(shù)以支持大數(shù)與普通整數(shù)相減
CBigInt Sub(long A);
//計(jì)算兩個大數(shù)的積
CBigInt Mul(CBigInt& A);
//重載函數(shù)以支持大數(shù)與普通整數(shù)相乘
CBigInt Mul(long A);
//計(jì)算兩個大數(shù)的商
CBigInt Div(CBigInt& A);
//重載函數(shù)以支持大數(shù)與普通整數(shù)相除
CBigInt Div(long A);
//計(jì)算兩個大數(shù)相除的余數(shù)
CBigInt Mod(CBigInt& A);
//重載函數(shù)以支持大數(shù)與普通整數(shù)相除求模
long Mod(long A);
//將輸入的10進(jìn)制或16進(jìn)制字符串轉(zhuǎn)換成大數(shù)
int InPutFromStr(CString& str, const unsigned int system);
//將大數(shù)按10進(jìn)制或16進(jìn)制格式輸出到字符串
int OutPutToStr(CString& str, const unsigned int system);
//歐幾里德算法求：Y=X.Euc(A)，使?jié)M足：YX mod A = 1
CBigInt Euc(CBigInt& A);
//蒙哥馬利算法求：Y=X.Mon(A,B)，使?jié)M足：X^A mod B = Y
CBigInt Mon(CBigInt& A, CBigInt& B);
};
注意以上函數(shù)的聲明格式，完全遵循普通整數(shù)運(yùn)算的習(xí)慣，例如大數(shù)
Y=X+Z 相當(dāng)于 Y.Mov(X.(Add(Z))，這樣似乎沒有Mov(Y,Add(X,Z))
看起來舒服，但是一旦我們重載運(yùn)算符“=”為“Mov”，“+”為“Add”，
則Y.Mov(X.(Add(Z))的形式就等價于 Y=X+Z。
俺不知道其他編程語言里是否支持運(yùn)算浮重載，至少這樣定義函數(shù)格式
在C++里可以帶來很大的方便。
下面讓我們來實(shí)現(xiàn)大數(shù)類的主要成員函數(shù)：
/****************************************************************/
//大數(shù)運(yùn)算庫源文件：BigInt.cpp
//作者：afanty@vip.sina.com
//版本：1.0 (2003.4.26)
//說明：適用于MFC
/****************************************************************/
#include "stdafx.h"
#include "BigInt.h"
//初始化大數(shù)為0
CBigInt::CBigInt()
{
m_nSign=1;
m_nLength=1;
for(int i=0;i<BI_MAXLEN;i++)m_ulvalue[i]=0;
}
//采用缺省的解構(gòu)函數(shù)
CBigInt::~CBigInt()
{
}
//大數(shù)比較，如果大數(shù)A位數(shù)比大數(shù)B多，當(dāng)然A>;B
//如果位數(shù)相同，則從高位開始比較，直到分出大小
int CBigInt::Cmp(CBigInt& A)
{
if(m_nLength>;A.m_nLength)return 1;
if(m_nLength<A.m_nLength)return -1;
for(int i=m_nLength-1;i>;=0;i--)
{
if(m_ulvalue[i]>;A.m_ulvalue[i])return 1;
if(m_ulvalue[i]<A.m_ulvalue[i])return -1;
}
return 0;
}
//照搬參數(shù)的各屬性
CBigInt& CBigInt::Mov(CBigInt& A)
{
m_nLength=A.m_nLength;
for(int i=0;i<BI_MAXLEN;i++)m_ulvalue[i]=A.m_ulvalue[i];
return *this;
}
//大數(shù)相加
//調(diào)用形式：N.Add(A)，返回值：N+A
//若兩大數(shù)符號相同，其值相加，否則改變參數(shù)符號再調(diào)用大數(shù)相減函數(shù)
/******************************************************************/
例如：
A B C
+ D E
--------------
= S F G H
其中，若C+E<=0xffffffff，則H=C+E，carry(進(jìn)位標(biāo)志)=0
若C+E>;0xffffffff，則H=C+E-0x100000000，carry=1
若B+D+carry<=0xfffffff，則G=B+D，carry=0
若B+D+carry>;0xfffffff，則G=B+D+carry-0x10000000，carry=1
若carry=0，則F=A，S=0
若carry=1，A<0xfffffff，則F=A+1，S=0
若carry=1，A=0xfffffff，則F=0，S=1
/*****************************************************************/
CBigInt CBigInt::Add(CBigInt& A)
{
CBigInt X;
if(X.m_nSign==A.m_nSign)
{
X.Mov(*this);
int carry=0;
unsigned __int64 sum=0;
if(X.m_nLength<A.m_nLength)X.m_nLength=A.m_nLength;
for(int i=0;i<X.m_nLength;i++)
{
sum=A.m_ulvalue[i];
sum=sum+X.m_ulvalue[i]+carry;
X.m_ulvalue[i]=(unsigned long)sum;
if(sum>;0xffffffff)carry=1;
else carry=0;
}
if(X.m_nLength<BI_MAXLEN)
{
X.m_ulvalue[X.m_nLength]=carry;
X.m_nLength+=carry;
}
return X;
}
else{X.Mov(A);X.m_nSign=1-X.m_nSign;return Sub(X);}
}
//大數(shù)相減
//調(diào)用形式：N.Sub(A)，返回值：N-A
//若兩大數(shù)符號相同，其值相減，否則改變參數(shù)符號再調(diào)用大數(shù)相加函數(shù)
/******************************************************************/
例如：
A B C
- D E
--------------
= F G H
其中，若C>;=E，則H=C-E，carry(借位標(biāo)志)=0
若C<E，則H=C-E+0x100000000，carry=1
若B-carry>;=D，則G=B-carry-D，carry=0
若B-carry<D，則G=B-carry-D+0x10000000，carry=1
若carry=0，則F=A
若carry=1，A>;1，則F=A-1
若carry=1，A=1，則F=0
/*****************************************************************/
CBigInt CBigInt::Sub(CBigInt& A)
{
CBigInt X;
if(m_nSign==A.m_nSign)
{
X.Mov(*this);
int cmp=X.Cmp(A);
if(cmp==0){X.Mov(0);return X;}
int len,carry=0;
unsigned __int64 num;
unsigned long *s,*d;
if(cmp>;0)
{
s=X.m_ulvalue;
d=A.m_ulvalue;
len=X.m_nLength;
}
if(cmp<0)
{
s=A.m_ulvalue;
d=X.m_ulvalue;
len=A.m_nLength;
X.m_nSign=1-X.m_nSign;
}
for(int i=0;i<len;i++)
{
if((s[i]-carry)>;=d[i])
{
X.m_ulvalue[i]=s[i]-carry-d[i];
carry=0;
}
else
{
num=0x100000000+s[i];
X.m_ulvalue[i]=(unsigned long)(num-carry-d[i]);
carry=1;
}
}
while(X.m_ulvalue[len-1]==0)len--;
X.m_nLength=len;
return X;
}
else{X.Mov(A);X.m_nSign=1-X.m_nSign;return Add(X);}
}
//大數(shù)相乘
//調(diào)用形式：N.Mul(A)，返回值：N*A
/******************************************************************/
例如：
A B C
* D E
----------------
= S F G H
+ T I J K
----------------
= U V L M N
其中，SFGH=ABC*E，TIJK=ABC*D
而對于：
A B C
* E
-------------
= S F G H
其中，若C*E<=0xffffffff，則H=C*E，carry(進(jìn)位標(biāo)志)=0
若C*E>;0xffffffff，則H=(C*E)&0xffffffff
carry=(C*E)/0xffffffff
若B*E+carry<=0xffffffff，則G=B*E+carry，carry=0
若B*E+carry>;0xffffffff，則G=(B*E+carry)&0xffffffff
carry=(B*E+carry)/0xffffffff
若A*E+carry<=0xffffffff，則F=A*E+carry，carry=0
若A*E+carry>;0xffffffff，則F=(A*E+carry)&0xffffffff
carry=(A*E+carry)/0xffffffff
S=carry
/*****************************************************************/
CBigInt CBigInt::Mul(CBigInt& A)
{
CBigInt X,Y;
unsigned __int64 mul;
unsigned long carry;
for(int i=0;i<A.m_nLength;i++)
{
Y.m_nLength=m_nLength;
carry=0;
for(int j=0;j<m_nLength;j++)
{
mul=m_ulvalue[j];
mul=mul*A.m_ulvalue[i]+carry;
Y.m_ulvalue[j]=(unsigned long)mul;
carry=(unsigned long)(mul>;>;32);
}
if(carry&&(Y.m_nLength<BI_MAXLEN))
{
Y.m_nLength++;
Y.m_ulvalue[Y.m_nLength-1]=carry;
}
if(Y.m_nLength<BI_MAXLEN-i)
{
Y.m_nLength+=i;
for(int k=Y.m_nLength-1;k>;=i;k--)Y.m_ulvalue[k]=Y.m_ulvalue[k-i];
for(k=0;k<i;k++)Y.m_ulvalue[k]=0;
}
X.Mov(X.Add(Y));
}
if(m_nSign+A.m_nSign==1)X.m_nSign=0;
else X.m_nSign=1;
return X;
}
//大數(shù)相除
//調(diào)用形式：N.Div(A)，返回值：N/A
//除法的關(guān)鍵在于“試商”，然后就變成了乘法和減法
//這里將被除數(shù)與除數(shù)的試商轉(zhuǎn)化成了被除數(shù)最高位與除數(shù)最高位的試商
CBigInt CBigInt::Div(CBigInt& A)
{
CBigInt X,Y,Z;
int len;
unsigned __int64 num,div;
unsigned long carry=0;
Y.Mov(*this);
while(Y.Cmp(A)>;0)
{
if(Y.m_ulvalue[Y.m_nLength-1]>;A.m_ulvalue[A.m_nLength-1])
{
len=Y.m_nLength-A.m_nLength;
div=Y.m_ulvalue[Y.m_nLength-1]/(A.m_ulvalue[A.m_nLength-1]+1);
}
else if(Y.m_nLength>;A.m_nLength)
{
len=Y.m_nLength-A.m_nLength-1;
num=Y.m_ulvalue[Y.m_nLength-1];
num=(num<<32)+Y.m_ulvalue[Y.m_nLength-2];
if(A.m_ulvalue[A.m_nLength-1]==0xffffffff)div=(num>;>;32);
else div=num/(A.m_ulvalue[A.m_nLength-1]+1);
}
else
{
X.Mov(X.Add(1));
break;
}
Z.Mov(div);
Z.m_nLength+=len;
for(int i=Z.m_nLength-1;i>;=len;i--)Z.m_ulvalue[i]=Z.m_ulvalue[i-len];
for(i=0;i<len;i++)Z.m_ulvalue[i]=0;
X.Mov(X.Add(Z));
Z.Mov(Z.Mul(A));
Y.Mov(Y.Sub(Z));
}
if(Y.Cmp(A)==0)X.Mov(X.Add(1));
if(m_nSign+A.m_nSign==1)X.m_nSign=0;
else X.m_nSign=1;
return X;
}
//大數(shù)求模
//調(diào)用形式：N.Mod(A)，返回值：N%A
//求模與求商原理相同
CBigInt CBigInt::Mod(CBigInt& A)
{
CBigInt X,Y;
int len;
unsigned __int64 num,div;
unsigned long carry=0;
X.Mov(*this);
while(X.Cmp(A)>;0)
{
if(X.m_ulvalue[X.m_nLength-1]>;A.m_ulvalue[A.m_nLength-1])
{
len=X.m_nLength-A.m_nLength;
div=X.m_ulvalue[X.m_nLength-1]/(A.m_ulvalue[A.m_nLength-1]+1);
}
else if(X.m_nLength>;A.m_nLength)
{
len=X.m_nLength-A.m_nLength-1;
num=X.m_ulvalue[X.m_nLength-1];
num=(num<<32)+X.m_ulvalue[X.m_nLength-2];
if(A.m_ulvalue[A.m_nLength-1]==0xffffffff)div=(num>;>;32);
else div=num/(A.m_ulvalue[A.m_nLength-1]+1);
}
else
{
X.Mov(X.Sub(A));
break;
}
Y.Mov(div);
Y.Mov(Y.Mul(A));
Y.m_nLength+=len;
for(int i=Y.m_nLength-1;i>;=len;i--)Y.m_ulvalue[i]=Y.m_ulvalue[i-len];
for(i=0;i<len;i++)Y.m_ulvalue[i]=0;
X.Mov(X.Sub(Y));
}
if(X.Cmp(A)==0)X.Mov(0);
return X;
}
//暫時只給出了十進(jìn)制字符串的轉(zhuǎn)化
int CBigInt::InPutFromStr(CString& str, const unsigned int system=DEC)
{
int len=str.GetLength();
Mov(0);
for(int i=0;i<len;i++)
{
Mov(Mul(system));
int k=str[i]-48;
Mov(Add(k));
}
return 0;
}
//暫時只給出了十進(jìn)制字符串的轉(zhuǎn)化
int CBigInt::OutPutToStr(CString& str, const unsigned int system=DEC)
{
str="";
char ch;
CBigInt X;
X.Mov(*this);
while(X.m_ulvalue[X.m_nLength-1]>;0)
{
ch=X.Mod(system)+48;
str.Insert(0,ch);
X.Mov(X.Div(system));
}
return 0;
}
//歐幾里德算法求：Y=X.Euc(A)，使?jié)M足：YX mod A=1
//相當(dāng)于對不定方程ax-by=1求最小整數(shù)解
//實(shí)際上就是初中學(xué)過的輾轉(zhuǎn)相除法
/********************************************************************/
例如：11x-49y=1，求x
11 x - 49 y = 1 a)
49%11=5 ->; 11 x - 5 y = 1 b)
11%5 =1 ->; x - 5 y = 1 c)
令y=1 代入c)式得x=6
令x=6 代入b)式得y=13
令y=13 代入a)式得x=58
/********************************************************************/
CBigInt CBigInt::Euc(CBigInt& A)
{
CBigInt X,Y;
X.Mov(*this);
Y.Mov(A);
if((X.m_nLength==1)&&(X.m_ulvalue[0]==1))return X;
if((Y.m_nLength==1)&&(Y.m_ulvalue[0]==1)){X.Mov(X.Sub(1));return X;}
if(X.Cmp(Y)==1)X.Mov(X.Mod(Y));
else Y.Mov(Y.Mod(X));
X.Mov(X.Euc(Y));
Y.Mov(*this);
if(Y.Cmp(A)==1)
{
X.Mov(X.Mul(Y));
X.Mov(X.Sub(1));
X.Mov(X.Div(A));
}
else
{
X.Mov(X.Mul(A));
X.Mov(X.Add(1));
X.Mov(X.Div(Y));
}
return X;
}
//蒙哥馬利算法求：Y=X.Mon(A,B)，使?jié)M足：X^A mod B=Y
//俺估計(jì)就是高中學(xué)過的反復(fù)平方法
CBigInt CBigInt::Mon(CBigInt& A, CBigInt& B)
{
CBigInt X,Y,Z;
X.Mov(1);
Y.Mov(*this);
Z.Mov(A);
while((Z.m_nLength!=1)||Z.m_ulvalue[0])
{
if(Z.m_ulvalue[0]&1)
{
Z.Mov(Z.Sub(1));
X.Mov(X.Mul(Y));
X.Mov(X.Mod(B));
}
else
{
Z.Mov(Z.Div(2));
Y.Mov(Y.Mul(Y));
Y.Mov(Y.Mod(B));
}
}
return X;
}
最后需要說明的是因?yàn)樵赩C里面存在一個__int64類型可以
用來計(jì)算進(jìn)位與借位值，所以將大數(shù)當(dāng)作0x100000000進(jìn)制
進(jìn)行運(yùn)算是可能的，而在其他編譯系統(tǒng)中如果不存在64位
整形，則可以采用0x40000000進(jìn)制，由于在0x40000000
進(jìn)制中，對任何兩個“數(shù)字”進(jìn)行四則運(yùn)算，結(jié)果都在
0x3fffffff*03fffffff之間，小于0xffffffff，都可以用
一個32位無符號整數(shù)來表示。事實(shí)上《楚漢棋緣》采用的
freelip大數(shù)庫正是運(yùn)用了0x40000000進(jìn)制來表示大數(shù)的，
所以其反匯編后大數(shù)的值在內(nèi)存中表現(xiàn)出來有些“奇怪”。

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豐衣足食

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2樓 [報告]

發(fā)表于 2003-06-23 18:00 |只看該作者

RSA與大數(shù)運(yùn)算

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稍有積蓄

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3樓 [報告]

發(fā)表于 2003-06-23 21:11 |只看該作者

RSA與大數(shù)運(yùn)算

一個字：牛!!

li2002

富足長樂

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4樓 [報告]

發(fā)表于 2003-06-25 06:55 |只看該作者

RSA與大數(shù)運(yùn)算

不錯，很好

yanguo66

家境小康

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5樓 [報告]

發(fā)表于 2003-06-25 09:16 |只看該作者

RSA與大數(shù)運(yùn)算

文章很好。請介紹RSA算法在UNIX中的一些應(yīng)用好嗎？請教了！

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稍有積蓄

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6樓 [報告]

發(fā)表于 2012-08-26 08:39 |只看該作者

就是高中學(xué)過的反復(fù)平方法

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[SCO UNIX] RSA與大數(shù)運(yùn)算 [復(fù)制鏈接]

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